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状況について、表現を正確に行いましょう。
「開けない」とはどういう状況なのでしょう？
 

引用:
タスクバーには表示されていて受信もできています。

タスクバー 云々 から察すると、
起動はしているが、ウィンドウとして表示されていない と言う事でしょうか？
受信できている？ どうやって確認したのですか？
 
サンダーバードを使ったことがないので
プロファイルにどこまで保存されているのか判りませんが
 
タスクバーには存在し、特定のプロファイルを選択すると表示されないと言う事なのであれば、
プロファイル自体に、初期ウィンドウ位置の情報
（終了時のウィンドウ位置が保存され次回起動時にそのウィンドウ位置を再現している）
のではないでしょうか？
 
起動しているのであれば、ALT + TAB（ALTを押したまま TABを離す→TABを押す）で
アクティブアプリケーション を サンダーバードにし、
Windowsキー を押したまま 十字キー 上 を数回押すと、
そのアプリケーションのウィンドウが最大表示になるタイミングがあるはずです。
 
それで、ウィンドウが見える様になるのではないでしょうか。

引用:
これはサンダーバードやGoogle Chromeの問題ではなく、
Windowsが壊れているのでしょうか？

 
可能性としてはあるでしょうが、
・特定のアプリケーションのみ不具合が生じる
・他のアプリケーションはきちんと動作している
から、可能性としては低いと考えます。
 
 
問題のアプリケーションをアクティブな状態にし
ALT + Print Screen で
　アクティブアプリケーション の 表示領域範囲内 のウィンドの スクリーンショットが取れます。
その上で、Excel 等に 貼り付ければ 何がアクティブになっているか確認できるはずです。
（あくまでも 表示領域内 のアプリケーションの様なので、
　表示領域外に表示されていると メモリーにどう保存されているかは判りません）
 
表示慮域外にウィンドが存在する要因としては
今のモニターより 表示領域が広いモニター または、マルチモニター状態で
当該アプリケーションを表示していて、
今回起動時に前回表示位置に再現され表示されていない事が考えられます。
 
プロジェクターやテレビに繋いで起動いた記憶がありませんか？
モニター廻りの設定をいじらず、その機器に繋げば、表示されませんかね。
 
 

引用:
ALT + TABを押すと、サンダーバードやGoogle Chromeは表示されますが、
ALT + TABを離すと表示されません。
タスクバーには表示されています。

 

引用:
表示されていませんが、
その状態でWindowsキー を押したまま 十字キー 上 を数回押しても
表示されません。

 
当該アプリケーションがアクティブになっている状態で
Windowsキー + 方向キー の操作で、ウィンドウの位置や配置を変える事が可能です。
 
Windowsキー + ↓ で
　アクティブウィンドが 最大化されている状態 からなら、通常ウィンドの大きさ
　　　　〃　　　　　が 通常ウィンド　　状態 からなら、最小化
 
Windowsキー + ↑ で
　アクティブウィンドが 同じ幅で高さ方向最大
　　　　〃　　　　　が 高さ方向最大 状態 からなら、最大化
 
Windowsキー + ←（または→） で
　アクティブウィンド の配置位置の変更
　　　（マルチディスプレイなら、表示ディスプレイの変更を含む）
 
になります。
 
問題のないアプリケーションウィンドで挙動を確認し、
問題のあるアプリケーションで試してみてください。
 
 
 

引用:
ただし、タスクバーではアイコンの下が光って、
光っているものが大きくなるのは分かります。

 
となると、
アプリケーションがメッセージウィンドを表示している状態で
そのメッセージウィンドがアプリケーションモーダルになっていて
そのメッセージを消さないと、アプリケーションの操作ができない状態の可能性もあります。
 
問題のアプリケーションの他に別のアプリケーションが表示されている場合
別のアプリケーションウィンドの陰に、メッセージウィンドが隠れている事もあります。
 
問題のアプリケーション のみ を起動した状態にし
Windowsキー + 方向キー で試してみてください。